毕-论 业-文
（20 届）
经济均衡问题及其实例应用
所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月
摘 要
摘要：所谓经济均衡是指经济体系中各种相互关联和相互对立的因素在既定的范围内的变动中处于相对平衡或处于相对稳定的状态。本文主要研究的是经济均衡问题的存在及意义，在文中构造了三个具体的例子，这些例子是递进的关系，在原有的基础上逐一增加条件。在对例子的求解过程中，首先进行建模，将问题转化为数学方程的求解问题，并通过LINGO软件的编程来求解，得到计算结果，分析结果得到经济均衡的结论。最后指出了在本论文存在的一些创新点和不足点，并对本论文所构造的模型进行了推广。
关键字：经济均衡；数学模型；LINGO软件
Abstract
【Abstract】 The so-called economic equilibrium is that in the economic system various related and contradictory factors in established within the scope of the changes in relative balance or in a relatively stable state. This paper mainly studies the existence and meaning of the economic equilibrium problems, in the text the author constructed three specific examples that are gradually improved and increase assumption on the basis of the original conditions. In the solution process, the first is modeling so that the problem is transformed into solving mathematical equations, and then by the LINGO software programming to solve and get the results, at last analysis the results and get the conclusions of the economic equilibrium. Finally, this essay points out some existing innovations and insufficient points, and the model constructed in this paper is extended.
Keyword: economic equilibrium；model；LINGO software
目录
1 引言............................................................................................................................ 1
1.1
研究背景和意义 ........................................................................................................ 1 1.2 国内外研究现状 .......................................................................................................... 1
2 研究的方法和思路.................................................................................................... 3
2.1 研究思路 ...................................................................................................................... 3 2.2 研究方法 ...................................................................................................................... 4
3 三个厂商和三个消费者 ........................................................................................ 5
3.1、理想的供需关系 ......................................................................................................... 5 3.2 加入运输成本的供需关系 .......................................................................................... 9 3.3 复杂的供需关系 .......................................................................................................... 14
4 结论.......................................................................................................................... 19
4.1 本文创新点及不足 ...................................................................................................... 19 4.2 模型推广 ...................................................................................................................... 20
参考文献...................................................................................................................... 21 致谢................................................................................................ 错误!未定义书签。
1 引言
1.1 研究背景和意义
经济均衡是西方经济学中一个基本的经济理论和普遍使用的分析工具，同时经济理论从形成到发展贯穿了西方经济学的整个发展过程。经济均衡思想的出现可追溯到古典经济学甚至更早一些，重商主义晚期的詹姆士·斯图亚特，法国重农主义代表魁奈，英国古典经济学的亚当·斯密等人，都在不同程度上阐述了经济均衡问题，但由于他们处于资本主义上升时期，从而决定了他们更关心财富的增长而不是经济均衡，因此他们的均衡理论还是粗浅、零散的，缺乏严密的定义和逻辑证明。
在1874年瓦尔拉提出了一般均衡的基本概念，即市场是相互联系的，经济均衡的特征必然是所有市场上供给与需求的相等，直到1954年才由阿罗和德布罗证明一般均衡问题的存在，之后在一般均衡的基础上，关于均衡问题得到了更广泛的研究和发展。同时，瓦尔拉在对一般均衡解的存在性进行经济意义下的证明时，提出了均衡的稳定性问题，即指经济系统经过一个内部操作过程实现均衡。世界经济的发展是一个从失衡走向均衡的过程，对失衡的调整过程就是市场自动纠错和成长的过程，当市场处于均衡状态时，它就是稳定的，实现了经济参与人的预期，同时也达到了预期最大化。
斯卡夫在1969年发表的“论均衡价格的计算”，开创了均衡计算的理论与方法。均衡的计算是被作为映射的不动点计算的特殊情况来对待的，只不过不动点被解释为均衡价格向量，计算出来的解向量所决定的配置是一种可行的市场结清配置。本文所做的就是进行均衡的计算，将经济问题与数学思想结合起来，得到一个具体的解，并通过对结果的分析，得到经济均衡的实现。
1.2 国内外研究现状
在市场经济活动中，在市场上某种商品的价格上升时，厂商就更加愿意扩大生产能力，提供更多的商品，但当市场价格太高时，消费者的消费欲望就会减少，反之亦然。如果厂商的供应能力与消费者的需求能力长期不匹配，就会导致经济的不稳定。在市场经济活动中，人们一直寻求经济均衡并通过各种方法求解经济均衡问题。所谓经济均衡是指经济体系中各种相互关联和相互对立的因素在即定的范围内的变动中处于相对平衡和处于相对稳定的状
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态。
法国经济学家瓦尔拉通过分析所有市场上所有商品和服务的供给、需求与价格的均衡问题，创立了一般均衡分析方法。经济学家研究各样的商品空间，各种因素影响的价格体系，讨论均衡点的存在问题，由于影响价格的因素越来越多，商品空间从有限维到无穷维，许多数学工作者开始证明均衡点存在性，并讨论均衡点的算法和研究算法的收敛性。张从军和孙敏[1]利用截口定理与KKM定理两种不同的工具证明此类均衡问题解得存在性，并将这类向量均衡问题推广到更为一般的情形。
有均衡约束的数学规划（MPEC）和有均衡约束的均衡问题（EPEC）经常出现在运筹学的应用中， Boris S. Mordukhovich[2]将这类均衡问题统一于多目标的最优化架构，例如，广义方程、变分不等式,互补问题等等。他研究重点是在有限维空间中的一般假设下，MPECs和MPECs的最优解的必要条件，由于这类问题在本质上是非线性的，可以运用广义分化的先进工具，用过现代变量分析得到最优解决方案，所得到的一般结果使特殊类别的MPECs和MPECs具体化，这在应用中十分重要。Sjur Didrik Flam[3]提供了一种经济均衡的方法，他研究一种机制，帮助我们理解为什么和怎样才能在许多的经济背景中达到均衡。他认为主要客体是一个在单调的条件下会导致均衡的适应过程，反映了多次调整个别策略。主体要适应环境的不确定性，但既不需要知道的概率定理，也不需要调用任何统计学理论，也不用估算平均值。事实上，每个人都可以采取行动，在合理的条件，个人的最优性和系统的平衡终究会得到。
对于动态的经济， Igor Evstigneev和Michael Taksar[4]建立了一个经济主体之间局部影响的随机动态的经济均衡模型。其研究的主要焦点是建立一个市场相互作用的模型，而市场的相互作用的出现与商品交易和价格机制的调控有关的。数学框架是基于有向图上的随机矢向量场的控制理论，这些图表用于描述系统中的商品流动的时空结构。主要结果是涉及是否存在，唯一性和随机动态均衡稳定。
经济人能正确预测未来价格的序列市场均衡分析的一般模型首先由Radner( 1972) 给出，这一模型已被发展成GEI的一般均衡模型。因原始的模型大多限定在有限个时期,为了建立适合研究宏观经济问题的框架。有必要把有限期经济模型扩展成更理想的无限期经济模型。毛二万[5]通过一个简单的模型证明了有偿付约束的无限期资产经济均衡存在性, 所用条件更加简明，这一研究为今后研究无限期经济提供方向: 同时也可以更好地理解偿付约束(或保证金制度)在资本市场中的作用。
纵观国内外对于经济均衡的分析，发现研究进一步完善了经济均衡理论，但大都只停留
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在理论分析，主要通过模型的建立和分析得到最优解的存在性和均衡存在的条件，未将其运用于实际问题。
对于经济均衡问题，本文主要集中在最优解得求解问题上，大致会分几种不同的市场来进行分析。研究的方法主要是运用数学建模[6]的方法，将实际问题转化线性规划的问题，使其约束条件用数学方程具体的表达，之后会应用LINGO软件进行编程。
2 研究的方法和思路
在市场经济活动中，当市场上某种产品的价格越高时，生产商越是愿意扩大生产能力（供应能力），提供更多的产品满足市场需；但市场价格太高时，消费者的消费欲望（需求能力）会下降。反之，当市场上某种产品价格越低时，消费者的消费欲望（需求能力）会上升，但生产商的供应能力会下降。如果生产商的供应能力和消费者的需求能力长期匹配，即生产和消费（供应能力和需求能力）达到平衡，不再发生变化，这时该产品的价格就是市场的清算价格，这是市场处于稳定状态。
2.1 研究思路
对于经济均衡问题，本文主要集中在最优解得求解问题上，主要是针对三个厂商和三个消费者之间的问题来进行分析讨论的。例3.1中，市场处于理想的供需关系，不考虑其他条件，只考虑厂商的供给量和消费者的需求量之间的关系，当两者相等时，市场达到出清，但出清不意味着市场达到了均衡，只有在厂商利润最大化，且厂商的供给量等于消费者的需求量，这才实现了经济均衡。因为当厂商实现了利润最大化时，它增加或减少供给量都会使自己的利润减少，对于理性的经纪人来说，都会选择当前的生产量，所以我们在建立模型时，目标函数就是求厂商利润的最大化，之后建立了供需之间的一些约束条件。在求解这些方程时，我们运用了LINGO数学软件得到该问题的最优解，对结果进行分析解释，说明此时市场达到了出清状态，且经济均衡实现。
例3.2中讨论的仍然是三个厂商和三个消费者之间的关系，只是在讨论过程中增加了厂商和消费者之间存在运输成本的条件，这使得厂商在进行生产和销售时，要考虑产品所带来的利润是否大过运输所带来的成本，只有在利润大于运输成本时，即厂商有利可图时才会选择向该消费者销售。对于该问题我们所建立的模型基本和例3.1相似，只是在目标函数中还
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需减去三个厂商各自产生的运输成本，此时目标函数表示的是整个生产市场的利润最大化，不再单单的表示单个厂商的利润。将程序运行后，得到一组最优解，对得到的结果进行分析，不难发现，市场达到出清状态且经济均衡实现。
例3.3与例3.2相比，厂商和消费者之间仍然存在运输成本，只是增加了库存的假设，也就是说厂商在满足消费者需求的同时还要满足自身发展的需要。此时厂商的供给量和消费者的需求量就不在相等，即市场不可能达到出清的状态。在模型建立过程中，目标函数仍然是厂商利润的最大化，只是厂商此时多了贮存所需要花费的成本，约束方程也发生了变化，将方程通过LINGO运行后，我们得到了一组新的最优解，对结果进行分析发现虽然市场为达到出清状态，但经济均衡已经实现，可见经济均衡和市场出清之间不存在必然的联系，最后也对结果进行了对比分析。
2.2 研究方法
本文在求解过程，主要用到数学方法是数学建模。所谓数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并\"解决\"实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。运用数学建模可以将经济问题与数学结合起来，并运用一系列的数学方法来求解经济均衡问题的最优解，将其问题简单化，使其结果更加的直观。同时，结合运筹学的相关知识，使经济问题变得更加直观，求解所得的数据更加的充实。
为了得到最后的结果，我们运用LINGO来求解方程。LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，由美国LINDO系统公司（Lindo System Inc.）推出的，可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，是求解优化模型的最佳选择。其特色在于内置建模语言，提供十几个内部函数，可以允许决策变量是整数(即整数规划，包括 0-1 整数规划)，而且执行速度非常快，方便与[3]EXCEL，数据库等其他软件交换数据。在《优化建模与LINDO/LINGO》[4]和《Optimization Modeling with LINGO》[5]介绍许多LINGO在实际生活、生产的应用，通过编程、运行后就可得到具体的最优解。运用LINGO有利于减少计算时间，可以在最短的时间内得到我们所需要的数据，同时，LINGO的运行结果也十分便于观察，我们可以能很容易的理解并将数据进行比较，得到我们所需要的结果。
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3 三个厂商和三个消费者
3.1、理想的供需关系
假设市场上有三个生产者（分别记为A、B、C）和三个消费者（记为甲、乙、丙），对某种产品，他们在不同价格下的供应能力和需求能力如下表所示，不考虑任何外在的因素。这时市场的出清价格应该是多少？A、B、C各生产多少？甲、乙、丙分别购买多少？
表1 厂商供应能力
生产商(A) 单价/(万元/t) 2 5 8 12
表2 消费者购买能力 消费者(甲) 单价/(万元/t) 17 10 5 2 模型建立：
设A以2、5、8、12（万元）的单价售出的产品数量（单位：t）分别是A1、A2、A3、A4，B以3、7、11、15（万元）的单价售出的产品数量（单位：t）分别是B1、B2、B3、B4，C以2.5、4、7.4、10.2（万元）的单价售出的产品数量（单位：t）分别是C1、C2、C3、C4，甲以17、10、5、2（万元）的单价购买的产品数量（单位：t）分别是X1、X2、X3、X4，乙以14、9、3、1（万元）的单价购买的产品数量（单位：t）分别是Y1、Y2、Y3、Y4，丙以16、11、7、4（万元）的单价购买的产品数量（单位：t）分别是Z1、Z2、Z3、Z4，此外，
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生产商(B) 单价/(万元/t) 3 7 11 15 供应能力/t 2 6 10 14 生产商(C) 单价/(万元/t) 2.5 4 7.4 10.2 供应能力/t 1.25 3 5 9.7 供应能力/t 1 3 7 10 消费者(乙) 单价/(万元/t) 14 9 3 1 需求能力/t 4 7 10 15 消费者(丙) 单价/(万元/t) 16 11 7 4 需求能力/t 2 4 6 9 需求能力/t 3 6 9 11 假设AX、AY、AZ分别是A向甲、乙、丙的供货量，BX、BY、BZ分别是B向甲、乙、丙的供货量，CX、CY、CZ分别是C向甲乙丙的供货量。这些决策变量的关系如下图所示：
A的产量 A1、A2、A3、A 甲的购买量 X1、X2、X3、X 乙的购买量 Y1、Y2、Y3、Y 丙的购买量 Z1、Z2、Z3、Z4 AX AY B的产量 B1、B2、B3、B BX BBZ Y C的产量 C1、C2、C3、C CZ AZ CX CY
目标函数是虚拟经销商的总利润： 错误!未找到引用源。 约束条件:
供需平衡：错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。
供应限制：错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。
消费限制：错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 非负限制：
LINGO程序：
MAX=17*X1+10*X2+5*X3+2*X4+14*Y1+9*Y2+3*Y3+Y4+16*Z1+11*Z2+7*Z3+4*Z4-2*
6
A1-5*A2-8*A3-12*A4-3*B1-7*B2-11*B3-15*B4-2.5*C1-4*C2-7.4*C3-10.2*C4; A1+A2+A3+A4-AX-AY-AZ=0;B1+B2+B3+B4-BX-BY-BZ=0;C1+C2+C3+C4-CX-CY-CZ=0; AX+BX+CX-X1-X2-X3-X4=0;AY+BY+CY-Y1-Y2-Y3-Y4=0;AZ+BZ+CZ-Z1-Z2-Z3-Z4=0; A1<=1;A2<=2;A3<=4;A4<=3;B1<=2;B2<=4;B3<=4;B4<=4;
C1<=1.25;C2<=1.75;C3<=2;C4<=4.7;X1<=3;X2<=3;X3<=3;X4<=2; Y1<=4;Y2<=3;Y3<=3;Y4<=5;Z1<=2;Z2<=2;Z3<=2;Z4<=3;
运行结果:
Global optimal solution found.
Objective value: 123.0750 Total solver iterations: 21
Variable Value Reduced Cost X1 3.000000 0.000000 X2 3.000000 0.000000 X3 0.000000 3.000000 X4 0.000000 6.000000 Y1 4.000000 0.000000 Y2 3.000000 0.000000 Y3 0.000000 5.000000 Y4 0.000000 7.000000 Z1 2.000000 0.000000 Z2 2.000000 0.000000 Z3 0.000000 1.000000 Z4 0.000000 4.000000 A1 1.000000 0.000000 A2 2.000000 0.000000 A3 3.000000 0.000000 A4 0.000000 4.000000 B1 2.000000 0.000000 B2 4.000000 0.000000 B3 0.000000 3.000000 B4 0.000000 7.000000 C1 1.250000 0.000000 C2 1.750000 0.000000 C3 2.000000 0.000000 C4 0.000000 2.200000 AX 1.000000 0.000000 AY 5.000000 0.000000 AZ 0.000000 0.000000
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BX 0.000000 0.000000 BY 2.000000 0.000000 BZ 4.000000 0.000000 CX 5.000000 0.000000 CY 0.000000 0.000000 CZ 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 123.0750 1.000000 2 0.000000 -8.000000 3 0.000000 -8.000000 4 0.000000 -8.000000 5 0.000000 -8.000000 6 0.000000 -8.000000 7 0.000000 -8.000000 8 0.000000 6.000000 9 0.000000 3.000000 10 1.000000 0.000000 11 3.000000 0.000000 12 0.000000 5.000000 13 0.000000 1.000000 14 4.000000 0.000000 15 4.000000 0.000000 16 0.000000 5.500000 17 0.000000 4.000000 18 0.000000 0.6000000 19 4.700000 0.000000 20 0.000000 9.000000 21 0.000000 2.000000 22 3.000000 0.000000 23 2.000000 0.000000 24 0.000000 6.000000 25 0.000000 1.000000 26 3.000000 0.000000 27 5.000000 0.000000 28 0.000000 8.000000 29 0.000000 3.000000 30 2.000000 0.000000
31 3.000000 0.000000
结果分析：
通过运行LINGO程序，我们得到了该问题的最优解，最优解为错误!未找到引用源。，即
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厂商A生产了6t的产品，其中向甲销售了1t的产品，向乙销售了5t的产品；厂商B生产了6t的产品，其中向乙销售了2t的产品，向丙销售了4t的产品；厂商C生产了5t的产品，且只向甲销售产品。由此可知，消费者甲共购买了6t的产品，由厂商A和C供应；消费者乙共购买了7t的产品，由厂商A和B供应；消费者丙共购买了4t的产品，由厂商B供应。通过观察可知厂商所提供的供应量和消费者所需要的购买量相等，由此可知市场处于出清状态，对于市场来说这种状态是相对稳定的，同时在该状态下厂商实现自身的利润最大化，对消费者来说是实现了自身的成本最小化，整个市场的效益实现最大化。
对于清算价格，我们可以考虑对偶价格（Dual Price）。对偶价格又称为影子价格，表示的是对应约束的右端项的价值。在该例的INGO程序运行结果中，六个供需平衡约束方程的右端项为0，对偶价格为-8，意思就是说如果右端项增加一个很小的值（即厂商A、B、C中的任意一个厂商的供应量增加一个很小的量），引起的经销商的损失就是这个小量的8倍，可见此时对于厂商A、B、C面对的销售单价就是8，消费者甲、乙、丙面对的购买单价也是8，即当清算价格是8时，供需平衡，市场达到出清状态，经济均衡实现。
3.2 加入运输成本的供需关系
假设市场上有三个生产者（分别记为A、B、C）和三个消费者（记为甲、乙、丙），对某种产品，他们在不同价格下的供应能力和需求能力如下表所示。此外，从A销售到甲、乙的每吨产品的运输成本分别是0.35万元和0.5万元，从A销售到丙的运输成本为0；从B销售到甲、丙的每吨产品的运输成本分别是1万元和0.75万元，B、乙之间运输成本为0；从C销售到乙、丙的每吨产品的运输成本分别是0.2万元和1.3万元，C、甲之间运输成本为0.不考虑其他因素，则此时市场的出清价格应该是多少？A、B、C各生产多少？甲、乙、丙分别购买多少？
表1 厂商生产能力
生产商(A) 单价/(万元/t) 2 5 8 供应能力/t 1 3 7 生产商(B) 单价/(万元/t) 3 7 11 9
生产商(C) 单价/(万元/t) 2.5 4 7.4 供应能力/t 1.25 3 5 供应能力/t 2 6 10 12 10 15 14 10.2 9.7 表2 消费者购买能力
消费者(甲) 单价/(万元/t) 17 10 5 2
模型建立：
设A以2、5、8、12（万元）的单价售出的产品数量（单位：t）分别是A1、A2、A3、A4，B以3、7、11、15（万元）的单价售出的产品数量（单位：t）分别是B1、B2、B3、B4，C以2.5、4、7.4、10.2（万元）的单价售出的产品数量（单位：t）分别是C1、C2、C3、C4，甲以17、10、5、2（万元）的单价购买的产品数量（单位：t）分别是X1、X2、X3、X4，乙以14、9、3、1（万元）的单价购买的产品数量（单位：t）分别是Y1、Y2、Y3、Y4，丙以16、11、7、4（万元）的单价购买的产品数量（单位：t）分别是Z1、Z2、Z3、Z4，此外，假设AX、AY、AZ分别是A向甲、乙、丙的供货量，BX、BY、BZ分别是B向甲、乙、丙的供货量，CX、CY、CZ分别是C向甲乙丙的供货量。 目标函数是虚拟经销商的总利润： 错误!未找到引用源。 约束条件:
供需平衡：错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。
供应限制：错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。
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消费者(乙) 单价/(万元/t) 14 9 3 1 需求能力/t 4 7 10 15 消费者(丙) 单价/(万元/t) 16 11 7 4 需求能力/t 2 4 6 9 需求能力/t 3 6 9 11 消费限制：错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 非负限制：
LINGO程序：
MAX=17*X1+10*X2+5*X3+2*X4+14*Y1+9*Y2+3*Y3+Y4+16*Z1+11*Z2+7*Z3+4*Z4-2*A1-5*A2-8*A3-12*A4-3*B1-7*B2-11*B3-15*B4-2.5*C1-4*C2-7.4*C3-10.2*C4-0.35*AX-0.5*AY-BX-0.75*BZ-0.2*CY-1.3*CZ;
A1+A2+A3+A4-AX-AY-AZ=0;B1+B2+B3+B4-BX-BY-BZ=0;C1+C2+C3+C4-CX-CY-CZ=0; AX+BX+CX-X1-X2-X3-X4=0;AY+BY+CY-Y1-Y2-Y3-Y4=0;AZ+BZ+CZ-Z1-Z2-Z3-Z4=0; A1<=1;A2<=2;A3<=4;A4<=3;B1<=2;B2<=4;B3<=4;B4<=4;C1<=1.25;C2<=1.75; C3<=2;C4<=4.7;X1<=3;X2<=3;X3<=3;X4<=2;Y1<=4;Y2<=3;Y3<=3;Y4<=5; Z1<=2;Z2<=2;Z3<=2;Z4<=3;
运行结果:
Global optimal solution found.
Objective value: 122.2250 Total solver iterations: 25
Variable Value Reduced Cost X1 3.000000 0.000000 X2 3.000000 0.000000 X3 0.000000 3.350000 X4 0.000000 6.350000 Y1 4.000000 0.000000 Y2 3.000000 0.000000 Y3 0.000000 5.500000 Y4 0.000000 7.500000 Z1 2.000000 0.000000 Z2 2.000000 0.000000 Z3 0.000000 1.000000 Z4 0.000000 4.000000 A1 1.000000 0.000000 A2 2.000000 0.000000 A3 3.000000 0.000000
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A4 0.000000 4.000000 B1 2.000000 0.000000 B2 4.000000 0.000000 B3 0.000000 2.500000 B4 0.000000 6.500000 C1 1.250000 0.000000 C2 1.750000 0.000000 C3 2.000000 0.000000 C4 0.000000 1.850000 AX 1.000000 AY 1.000000 BX 0.000000 BZ 0.000000 CY 0.000000 CZ 0.000000 AZ 4.000000 BY 6.000000 CX 5.000000 Row Slack or Surplus 1 122.2250 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000 5 0.000000 6 0.000000 7 0.000000 8 0.000000 9 0.000000 10 1.000000 11 3.000000 12 0.000000 13 0.000000 14 4.000000 15 4.000000 16 0.000000 17 0.000000 18 0.000000 19 4.700000 20 0.000000 21 0.000000 22 3.000000 23 2.000000 24 0.000000 12
0.000000 0.000000 1.150000 1.250000
0.5000000E-01 1.650000 0.000000 0.000000 0.000000 Dual Price 1.000000 -8.000000 -8.500000 -8.350000 -8.350000 -8.500000 -8.000000 6.000000 3.000000 0.000000 0.000000 5.500000 1.500000 0.000000 0.000000 5.850000 4.350000 0.9500000 0.000000 8.650000 1.650000 0.000000 0.000000 5.500000
25 0.000000 0.5000000 26 3.000000 0.000000 27 5.000000 0.000000 28 0.000000 8.000000 29 0.000000 3.000000 30 2.000000 0.000000 31 3.000000 0.000000 结果分析：
通过运行LINGO程序，我们得到了该问题的最优解，最优解为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。即厂商A生产了6t的产品，其中向甲销售1t的产品，向乙销售1t的产品，向丙销售4t的产品；厂商B生产了6t的产品，且产品只向乙销售，即向乙销售了6t的产品；厂商C生产了5t的产品，且只向甲销售，即向甲销售5t的产品；由此可知消费者甲购买了6t的产品，由厂商A和C供应；消费者乙购买了7t的产品，由厂商A和B供应；消费者丙购买了4t的产品，由厂商A提供。此时，市场上厂商的供应量和消费者的需求量相等，市场处于出清状态，和例3.1一样此时市场是相对稳定的，厂商和消费者各自的效益最大化，所以他们都不会轻易地改变自己的销售量和购买量。
对于清算价格，我们用上述的方法可以得到，即运用对偶价格（即影子价格），观察上面的运行结果，我们可以看到厂商A面对的清算价格为8，厂商B面对的清算价格为8.5，厂商C面对的清算价格为8.35，消费者甲、乙、丙所面对的清算价格分别是8.35、8.5、8，此时由于运输成本的存在使得厂商和消费者的清算价格均发生了变化。通过分析和观察我们发现：由于B和乙之间没有运输成本，而B只向乙销售产品，故这两者之间的清算价格一样，达到了经济均衡；同样，由于C和甲之间没有运输成本，而C只向甲销售产品，故这两者之间的清算价格一样，也达到了经济均衡；对于厂商A来说，它和消费者甲、乙、丙的清算价格之差恰好等于从A到甲、乙、丙的运输成本，同样也实现了均衡。
3.3 复杂的供需关系
假设市场上有三个生产者（分别记为A、B、C）和三个消费者（记为甲、乙、丙），对某种产品，他们在不同价格下的供应能力和需求能力如下表所示。此外，从A销售到甲、乙的每吨产品的运输成本分别是0.35万元和0.5万元，从A销售到丙的运输成本为0；从B销售到甲、丙的每吨产品的运输成本分别是1万元和0.75万元，B、乙之间没有运输成本；从C销售到乙、丙的每吨产品的运输成本分别是0.2万元和1.3万元，C、甲之间没有运输
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成本。现厂商A、B、C为能及时应对突发情况的发生，决定对该产品进行贮存，其中厂商A规定贮存量不得小于0.75t，且贮存费1.4万元/t；厂商B规定贮存量不得小于1t，且贮存费为0.4万元/t；厂商C规定贮存量不得小于0.26t，且贮存费为0.78万元/t。这时市场的出清价格应该是多少？A、B、C各生产多少？甲、乙、丙分别购买多少？
表1 厂商生产能力
生产商(A) 单价/(万元/t) 2 5 8 12
表2 消费者购买能力
消费者(甲) 单价/(万元/t) 17 10 5 2
需求能力/t 3 6 9 11 消费者(乙) 单价/(万元/t) 14 9 3 1 需求能力/t 4 7 10 15 消费者(丙) 单价/(万元/t) 16 11 7 4 需求能力/t 2 4 6 9 供应能力/t 1 3 7 10 生产商(B) 单价/(万元/t) 3 7 11 15 供应能力/t 2 6 10 14 生产商(C) 单价/(万元/t) 2.5 4 7.4 10.2 供应能力/t 1.25 3 5 9.7
模型建立：
设A以2、5、8、12（万元）的单价生产的产品数量（单位：t）分别是A1、A2、A3、A4，B以3、7、11、15（万元）的单价生产的产品数量（单位：t）分别是B1、B2、B3、B4，C以2.5、4、7.4、10.2（万元）的单价生产的产品数量（单位：t）分别是C1、C2、C3、C4，甲以17、10、5、2（万元）的单价购买的产品数量（单位：t）分别是X1、X2、X3、X4，乙以14、9、3、1（万元）的单价购买的产品数量（单位：t）分别是Y1、Y2、Y3、Y4，丙以16、11、7、4（万元）的单价购买的产品数量（单位：t）分别是Z1、Z2、Z3、Z4；假设AX、AY、AZ分别是A向甲、乙、丙的供货量，BX、BY、BZ分别是B向甲、乙、丙的供货量，CX、CY、CZ分别是C向甲乙丙的供货量；假设AS、BS、CS分别表示厂商A、B、C的
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贮存量。
目标函数是虚拟经销商的总利润： 错误!未找到引用源。 约束条件:
供需平衡：错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。
供应限制：错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。
消费限制：错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 非负限制：
LINGO程序：
MAX=17*X1+10*X2+5*X3+2*X4+14*Y1+9*Y2+3*Y3+Y4+16*Z1+11*Z2+7*Z3+4*Z4-2*A1-5*A2-8*A3-12*A4-3*B1-7*B2-11*B3-15*B4-2.5*C1-4*C2-7.4*C3-10.2*C4-0.35*AX-0.5*AY-BX-0.75*BZ-0.2*CY-1.3*CZ-1.4*AS-0.4*BS-0.78*CS;
A1+A2+A3+A4-AX-AY-AZ-AS=0;B1+B2+B3+B4-BX-BY-BZ-BS=0; C1+C2+C3+C4-CX-CY-CZ-CS=0;
AX+BX+CX-X1-X2-X3-X4=0;AY+BY+CY-Y1-Y2-Y3-Y4=0; AZ+BZ+CZ-Z1-Z2-Z3-Z4=0;
A1<=1;A2<=2;A3<=4;A4<=3;B1<=2;B2<=4;B3<=4;B4<=4; C1<=1.25;C2<=1.75;C3<=2;C4<=4.7;
15
X1<=3;X2<=3;X3<=3;X4<=2;Y1<=4;Y2<=3;Y3<=3;Y4<=5;Z1<=2;Z2<=2;Z3<=2;Z4<=3;AS>=0.75;BS>=1;CS>=0.26;
运行结果:
Global optimal solution found.
Objective value: 103.3962 Total solver iterations: 22
Variable X1 X2 X3 X4 Y1 Y2 Y3 Y4 Z1 Z2 Z3 Z4 A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 C1 C2 C3 C4 AX AY BX BZ CY CZ AS BS
Value 3.000000 3.000000 0.000000 0.000000 4.000000 1.990000 0.000000 0.000000 2.000000 2.000000 0.000000 0.000000 1.000000 2.000000 4.000000 0.000000 2.000000 4.000000 0.000000 0.000000 1.250000 1.750000 2.000000 0.000000 1.260000 0.9900000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.7500000 1.000000 16
Reduced Cost 0.000000 0.000000 3.850000 6.850000 0.000000 0.000000 6.000000 8.000000 0.000000 0.000000 1.500000 4.500000 0.000000 0.000000 0.000000 3.500000 0.000000 0.000000 2.000000 6.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.350000 0.000000 0.000000 1.150000 1.250000
0.5000000E-01 1.650000 0.000000 0.000000
CS 0.2600000 0.000000 AZ 4.000000 0.000000 BY 5.000000 0.000000 CX 4.740000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 103.3962 1.000000 2 0.000000 -8.500000 3 0.000000 -9.000000 4 0.000000 -8.850000 5 0.000000 -8.850000 6 0.000000 -9.000000 7 0.000000 -8.500000 8 0.000000 6.500000 9 0.000000 3.500000 10 0.000000 0.5000000 11 3.000000 0.000000 12 0.000000 6.000000 13 0.000000 2.000000 14 4.000000 0.000000 15 4.000000 0.000000 16 0.000000 6.350000 17 0.000000 4.850000 18 0.000000 1.450000 19 4.700000 0.000000 20 0.000000 8.150000 21 0.000000 1.150000 22 3.000000 0.000000 23 2.000000 0.000000 24 0.000000 5.000000 25 1.010000 0.000000 26 3.000000 0.000000 27 5.000000 0.000000 28 0.000000 7.500000 29 0.000000 2.500000 30 2.000000 0.000000 31 3.000000 0.000000 32 0.000000 -9.900000 33 0.000000 -9.400000 34 0.000000 -9.630000
结果分析：
当问题的条件改变时，运行结果如上面所示，此时，最优解为错误!未找到引用源。,即厂商A生产了7t的产品，其中向甲销售了1.26t的产品，向乙销售了0.99t的产品，向丙销
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售了4t的产品，贮存量为0.75t的产品；厂商B生产了6t的产品，其中向乙销售了5t的产品，贮存了1t的产品；厂商C生产了5t的产品，其中向甲销售了4.74t的产品，贮存了0.26t的产品。消费者甲购买了6t的产品，由厂商A和C供应；消费者乙购买了5.99t的产品，由厂商A和B供应；消费者丙购买了4t的产品，由厂商A供应。此时，市场不并处于出清状态，因为厂商除了要提供消费者所需的产量外，还要为自身的贮存量做准备，所以此时厂商的生产量大于消费者的需求量。虽然此时市场为处于出清状态，但对经济均衡的实现没有影响。我们知道经济均衡是指经济体系中各种相互关联和相互对立的因素在即定的范围内的变动中处于相对平衡和处于相对稳定的状态，在该例不考虑其他情况的条件下，对于属于厂商的市场来说此时的生产量可以使其的利润最大化，厂商在这种情况下改变自己的生产量的可能性较小，所以可以说现在市场已处于相对稳定的状态，经济效益实现了最大化。
我们运用对偶价格（即影子价格）得到一组新的清算价格，此时，厂商A面对的清算价格为8.5，厂商B面对的清算价格为9，厂商C面对的清算价格为8.85，消费者甲面对的清算价格为8.85，消费者乙面对的清算价格为9，消费者丙面对的清算价格为8.5，由于厂商增加了自身的贮存和运输成本的存在，所以厂商和消费者面对的清算价格各不相同。通过观察我们发现：此时的厂商B只向乙销售产品，由于B与乙之间没有运输成本；厂商C只向甲销售产品，而C和甲之间没有运输成本，故C和甲的清算价格相等，由此可见B、C和甲、乙之间实现了经济均衡；厂商A和消费者甲、乙、丙的清算价格之差等于从A到甲、乙、丙的运输成本，故A和甲、乙、丙之间也实现了经济均衡。经过分析，我们可以知道厂商和消费者之间实现了一种新的均衡。
4 结论
上文我们通过构造了3个例子来说明经济均衡的存在，在求解过程中运用了数学建模的思想建立方程，并通过LINGO软件编程得到最后的运算结果，通过分析所得到的结果，我们发现在经济活动中，经济均衡的现象是存在的。
4.1 本文创新点及不足
本文的创新点在于它通过构造了3个具体的实例，在求解过程中运用了数学建模的思想
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和LINGO软件，得到了一个具体的结果，使经济均衡问题不再停留在理论证明阶段，而是应用于实际的例子，对经济均衡有了更直观的理解。
本文所构造的关于经济均衡问题的例子是处于静态的状态下的，所提到的各种假设都是比较理想化的。由此可见，我们是从最简单的情况下来讨论经济活动中存在的经济均衡现象，在讨论过程中，我们忽略了各种可能改变厂商生产量和消费者购买量的外界因素。在现实生活中，厂商的生产量是受很多条件的约束，例如厂商会根据上一季度的销售情况来估计这一季度的销售量，从而决定这一季度的生产量；同时，产品的销售价格也不是固定的，会根据原料的价格、消费者的需求、产品的技术含量等原因而改变。所以现实中的经济活动是处于一个动态的状态，是不断变化的，但在本文所构建的模型中均未体现出该特点。
4.2 模型推广
文中所构造的例子是建立在少数的生产者和消费者的情况下的，在现实生活中，生产者和消费者的个数有许多，这时就需要我们将所建立的模型进行推广，下面我们就大致的介绍下。
对于例1的模型，我们假设生产同一产品的厂商个数为m，消费者个数为n，且厂商和消费者之间不存在运输成本。此时我们可以将生产同一商品的m个厂商归为一类，即他们属于同一个卖方市场，而n个消费者属于同一个买房市场，这样问题就简单化了。这类问题就转化为2个不同的市场间的一个均衡问题，所需建立的函数和例1基本相同，只是数据更加的庞大和复杂，在求解过程中我们同样利用数学建模和软件编程来得到我们所需要的结果。
对于例2的模型，它区别于例1的主要是添加了运输成本，而例2、例3之间的区别主要是增加了厂商库存的条件，所以当厂商数和消费者数均增加时，模型的中心思想是不变的，只是未知数增加，我们所编的程序更加的复杂和繁琐，但对于运算的结果分析不会有太大的变化，经济均衡同样能得以实现。
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