含绝对值的不等式解法练习题及答案

例1 不等式｜8－３ｘ｜>0的解集是

［ ]

A． B．RC．{x|x≠83} D．{8 3}分析 ∵|8－3x|＞0，∴8－3x≠0，即x≠83．

答 选C．

例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是

[ Ａ.3ﻩ B．2 C.-2 Ｄ.－5 分析 列出不等式.

解 根据题意得2<|x|≤5．

从而－5≤x<－２或2例3 不等式4＜|1－３ｘ|≤7的解集为__＿＿_＿＿_. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．

解 原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4<3ｘ-1≤7或-７

≤3x－1＜－4解之得53＜x≤83或－2≤x＜－1，即所求不等式解集为－2≤x＜－1或53＜x≤83}．例4 已知集合Ａ={x|2＜|６－2x|<5,x∈N},求A．

分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵２＜|6－２x|＜5可化为

2＜|２x-6|＜5

即－5＜2x－6＜5，2x－6＞2或2x－6＜－2，

即1＜2x＜11，2x＞8或2x＜4，

解之得4＜x＜1112或2＜x＜2．

因为x∈N,所以A=｛0，1,５}．

说明：注意元素的限制条件． 例５ 实数a，b满足ab＜0,那么

[ Ａ.|a-b｜＜|ａ|＋｜b| B．｜ａ+b｜>|a-b|

--

]

]

{x| --

C.|ａ＋b|<|a－b| D.|a-b|<||ａ|+|b｜|

分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵ａ、ｂ异号, ∴ |a＋b|<｜a－b｜. 答 选C．

例６ 设不等式｜x-a|＜b的解集为{ｘ|－1＜x<2}，则a，ｂ的值为

[ ]

A.a＝1，b=３ B.ａ=-１，ｂ=３ C．a=－１,b=-3

13D．a＝，b＝

22分析 解不等式后比较区间的端点．

解 由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a－b＜ｘa－b＝－113，解之得a＝，b＝． 22a＋b＝2答 选D．

说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x的不等式|2x-1|＜2m－１(m∈R) 分析 分类讨论．

1解 若2m－1≤0即m≤，则|2x－1|＜2m－1恒不成立，此时原不等

2式的解集为；

1若2m－1＞0即m＞，则－(2m－1)＜2x－1＜2m－1，所以1－m＜

2x＜m．

1综上所述得：当m≤时原不等式解集为；2

1当m＞时，原不等式的解集为2{x|1－m说明:分类讨论时要预先确定分类的标准．

例8 解不等式3－|x|1≥．

|x|＋22分析 一般地说,可以移项后变形求解,但注意到分母是正数,所以能直接去分母.

解 注意到分母｜ｘ｜+2>0,所以原不等式转化为2(３-|x｜)≥｜ｘ|+２，整理得

--

--

44444|x|≤，从而可以解得－≤x≤，解集为{x|－≤x≤}．

33333说明:分式不等式常常可以先判定一下

分子或者分母的符号,使过程简便．

例９ 解不等式｜6-｜2x＋１|｜>1. 分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|ax＋b|＜c或|aｘ+b|>c型的不等式来解.

解 事实上原不等式可化为

6-｜2ｘ+1|＞1

①

或 ６－|2x+1|＜-1

②

由①得|2ｘ+1|＜5,解之得－33或x＜-４.

从而得到原不等式的解集为{ｘ|ｘ<－4或－3例1０ 已知关于ｘ的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集是非空集合,则实数a的取值范围是________.

分析 可以根据对|x+2｜＋|x－3｜的意义的不同理解，获得多种方法．

解法一 当ｘ≤－2时,不等式化为-ｘ-2－x+3＜a即-2x＋1＜ａ有解,而－2x＋1≥５，

∴a>5.

当-２＜ｘ≤３时,不等式化为x+２－x+3＜ａ即a＞5．

当x＞3是,不等式化为ｘ+2＋x-35,∴a＞5． 综上所述:a>5时不等式有解，从而解集非空．

解法二 ｜x＋2|＋|x-３｜表示数轴上的点到表示-2和3的两点的距离之和，显然最小值为３－(－2)＝５.故可求a的取值范围为a＞5.

解法三 利用|ｍ|+|ｎ|＞|ｍ±ｎ|得 |x+2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x-3）|＝5． 所以a＞５时不等式有解．

说明:通过多种解法锻炼思维的发散性． 例1１ 解不等式|ｘ＋1|>２－x．

分析一 对2－x的取值分类讨论解之． 解法一 原不等式等价于:

2－x≥0①

x＋1＞2－x或x＋1＜x－22－x＜0或②

x∈Rx≤2 由①得1x＞或1＜－22--

--

x≤2 即11x＞，所以＜x≤2；22由②得x>２．

11综合①②得x＞．所以不等式的解集为{x|x＞}．

22分析二 利用绝对值的定义对|ｘ＋１|进行分类讨论解之.

解法二 因为

 x＋1，x≥－1 |x＋1|＝－x－1，x＜－1原不等式等价于：

x1≥0x1＜0 ①或②x1＞2xx1＞2xx≥11由①得 即x＞； 12x＞2x＜－1由②得 即x∈．

－1＞21所以不等式的解集为{x|x＞}．

2例12 解不等式|x-5|-|２ｘ+3|<1.

分析 设法去掉绝对值是主要解题策略,可以根据绝对值的意义分

3区间讨论，事实上，由于x＝5时，|x－5|＝0，x＝－时|2x＋3|＝0．

23所以我们可以通过－，5将x轴分成三段分别讨论．

2

3解 当x≤－时，x－5＜0，2x＋3≤0所以不等式转化为

2-（x－５)+(2ｘ＋3)＜１，得x＜-7,所以x<－７；

3当－＜x≤5时，同理不等式化为

2-(x-5)-(2x+3)＜1,

11解之得x＞，所以＜x≤5；

33--

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当ｘ＞５时，原不等式可化为 x－5－(２ｘ+3)<1，

解之得x＞－9，所以x＞5.

1综上所述得原不等式的解集为{x|x＞或x＜－7}．

3说明:在含有绝对值的不等式中,“去绝对值”是基本策略． 例13 解不等式|2x-１|＞|2x－3|．

分析 本题也可采取前一题的方法:采取用零点分区间讨论去掉绝

对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据|a|＞|b|a2＞b2解

之,则更显得流畅，简捷．

解 原不等式同解于

（２x－1)2>(2x-3)2,

即4ｘ２-4ｘ＋1＞4ｘ２－1２x+9, 即8ｘ>８,得x＞１．

所以原不等式的解集为{x|ｘ>1}.

说明：本题中，如果把2ｘ当作数轴上的动坐标,则|2x－1|>|2x-3｜表示2x到1的距离大于2x到3的距离,则2ｘ应当在２的右边，从而2ｘ>2即x＞1．

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