2011年数学三真题试题

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

(1) 已知当x0时，函数f(x)3sinxsin3x与是cxk等价无穷小，则

(A) k1,c4 (B) k1,c4 (C) k3,c4 (D) k3,c4

x2f(x)2f(x3) (2) 已知f(x)在x0处可导，且f(0)0,则limx0x3(A) 2f'(0) (B) f'(0) (C) f'(0) (D) 0 (3) 设un是数列，则下列命题正确的是

(A) 若

un1n收敛，则

(un12n1u2n)收敛

(B) 若

(un12n1u2n)收敛，则un收敛

n1(C) 若

un1n收敛，则

(un12n1u2n)收敛

 (D) 若

(un12n1u2n)收敛，则un收敛

n1400(4) 设I小关系是

40ln(sinx)dx,Jln(cotx)dx,K4ln(cosx)dx 则I,J,K的大

(A) IJK (B) IKJ (C) JIK (D) KJI (5) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3

10010010，P2001，则A 行得单位矩阵记为P1100101011(A)PP12 (B)P2P1 (D) P1P2 (C)P2P1

(6) 设A为43矩阵,1, 2 , 3 是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，则Ax的通解为

k1(21) 23k2(21) (B) 223k1(31)k2(21) (C) 223k2(21)k3(31) (D) 22(A)

(7) 设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x), f1(x)是连续函数，则必为概率密度的是

(A) f1(x)f2(x) (B)2f2(x)F1(x)

(C) f1(x)F2(x) (D) f1(x)F2(x)f2(x)F1(x)

(8) 设总体X服从参数(0)的泊松分布，X1,X1,Xn(n2)为来自总体的简

231n111n单随即样本，则对应的统计量T1Xi，T2XXn in1i1nni1(A)ET1ET2,DT1DT2 (B)ET1ET2,DT1DT2 (C)ET1ET2,DT1DT2 (D) ET1ET2,DT1DT2

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设f(x)limx(13t)，则f'(x)______.

t0xtx(10) 设函数z(1)y，则dz|(1,1)______.

y(11) 曲线tan(xy(12) 曲线y的体积______.

(13) 设二次型f(X1,X2,X3)xTAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下xQy的标准型为______.

x4)ey在点(0,0)处的切线方程为______.

x21，直线x2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体

(14) 设二维随机变量(X,Y)服从N(,;2,2;0)，则E(XY2)______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分) 求极限limx012sinxx1.

xln(1x)(16) (本题满分10分)

已知函数f(u,v)具有连续的二阶偏导数，f(1,1)2是f(u,v)的极值，

2z|(1,1). zf(xy),f(x,。求y)xy(17) (本题满分10分) 求

arcsinxlnxdx x(18) (本题满分10分) 证明4arctanxx430恰有2实根。 3(19) (本题满分10分)

f(x)在0,1有连续的导数，f(0)1，且

Dt，f'(xy)dxdyft(dxdy)DtDt{(x,y)|0xt,0yt,0xyt}(0t1)，求f(x)的表达式。

(20) (本题满分11分)

TTTT设3维向量组1，2，3不能由1，（1,0,1）（0,1,1）（1,3,5）（1,a,1）TT，3线性标出。 2（1,2,3）（1,3,5）求：(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)将1，2，3由1，2，3线性表出. (21) (本题满分11分)

1111已知A为三阶实矩阵，R(A)2，且A0000，

1111求：(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求A (22) (本题满分11分) 已知X，Y的概率分布如下：

X P 0 1 Y -1 P 1/3 0 1/3 1 1/3 1/3 2/3 且P(X2Y2)1，

求：(Ⅰ)(X，Y)的分布；

(Ⅱ)ZXY的分布； (Ⅲ)XY. (23) (本题满分11分)

设(X,Y)在G上服从均匀分布，G由x求：(Ⅰ)边缘密度

(Ⅱ)

y0，xy2与y0围成。

fX(x)；

fX|Y(x|y)。