AB长如何求解？求手写详解
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发布时间：2022-04-22 10:06
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时间：2023-06-26 11:37
因为P(x，y)点到M(0, -√3)和N(0，√3）两点距离之和为4，
因此P的轨迹是一个焦点在y轴上、焦距2c=2√3，长轴2a=4
的椭圆，即c=√3，a=2，b²=2²-(√3)²=4-3=1,
故其轨迹方程为y²/4+x²=1.
将y=kx+1代入椭圆方程得：(kx+1)²/4+x²=1
展开化简得(k²+4)x²+2kx-3=0
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则依韦达定理：
x₁+x₂=-2k/(k²+4);
x₁x₂=-3/(k²+4);
y₁y₂=(kx₁+1)(kx₂+1)=k²x₁x₂+k(x₁+x₂)+1
=-3k²/(k²+4)-2k²/(k²+4)+1=4(1-k²)/(k²+4)
因为以AB为直径的园过原点0，因此OA⊥OB, 于是有等式：
x₁x₂+y₁y₂=-3/(k²+4)+4(1-k²)/(k²+4)=(1-4k²)/(k²+4)=0
由此得k²=1/4，k=±1/2；两条弦AB的长是一样的，故取k=1/2计算，
此时x₁+x₂=-1/(17/4)=-4/17；x₁x₂=-3/(17/4)=-12/17.
故弦长∣AB∣=√(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂)]
=√[(1+1/4)(16/2+48/17)]=√[(5/4)×(832/2)]
=√(1040/2)=(4/17)√65.
