圆周率是怎样计算的
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发布时间：2022-04-22 12:02
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时间：2022-04-11 10:33
古人计算圆周率,一般是用割圆法.即用圆的内接或外切正多边形来*近圆的周长.Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度.这种基于几何的算法计算量大,速度慢,吃力不讨好.随着数学的发展,数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式.下面挑选一些经典的常用公式加以介绍.除了这些经典公式外,还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式,就不一一列举了.
Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现.他利用这个公式计算到了100位的圆周率.Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度.因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数,所以可以很容易地在计算机上编程实现.
Machin.c 源程序 还有很多类似于Machin公式的反正切公式.在所有这些公式中,Machin公式似乎是最快的了.虽然如此,如果要计算更多的位数,比如几千万位,Machin公式就力不从心了.下面介绍的算法,在PC机上计算大约一天时间,就可以得到圆周率的过亿位的精度.这些算法用程序实现起来比较复杂.因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算,要用FFT(Fast Fourier Transform)算法.FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n)).
Ramanujan公式 1914年,印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式,这是其中之一.这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度.1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位. 19年,David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为： 这个公式被称为Chudnovsky公式,每计算一项可以得到15位的十进制精度.1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位.Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法 Gauss-Legendre公式： 初值：重复计算： 最后计算： 这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度,比如要计算100万位,迭代20次就够了.1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位,创出新的世界纪录. Borwein四次迭代式： 初值：重复计算： 最后计算：这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表,它四次收敛于圆周率.
Bailey-Borwein-Plouffe算法 这个公式简称BBP公式,由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表.它打破了传统的圆周率的算法,可以计算圆周率的任意第n位,而不用计算前面的n-1位.这为圆周率的分布式计算提供了可行性.
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时间：2022-04-11 11:51
在半径为r的圆中，作一个内接正六边形。这时，正六边形的边长等于圆的半径r，因此，正六边形的周长等于6r。如果把圆内接正六边形的周长看作圆的周长的近似值，然后把圆内接正六边形的周长与圆的直径的比看作为圆的周长与圆直径的比，这样得到的圆周率是3，显然这是不精确的。
我们就得到了一种计算圆周率π的近似值的方法。
早在一千七百多年前，我国古代数学家刘徽曾用割圆术求出圆周率是3.141024。继刘徽之后，我国古代数学家祖冲之在推求圆周率的研究方面，又有了重要发展。他计算的结果共得到两个数：一个是盈数（即过剩的近似值），为3.1415927；另一个是（nǜ）数（即不足的近似值），为3.1415926。圆周率的真值正好在盈两数之间。祖冲之还采用了两个分数值：一个是22/7（约等于3.14），称之为“约率”；另一个是355/113（约等于3.1415929），称之为“密率”。祖冲之求得的密率，比外国数学家求得这个值，至少要早一千年。
⑴ 2∕π＝√2∕2*√（2＋√2）∕2*√（2＋√（2＋√2））∕2……
⑵ π∕2＝2*2*4*4*6*6*8*8……∕（1*3*3*3*4*5*5*7*7……）
⑶ π∕4＝4arctg(1∕5）-arctg（1∕239） （注：tgx=…………）
⑷ π＝426880√10005∕（∑(（6n）！*（545140134n+13591409))
∕（（n！）*（3n)！*（-0320）＾（3n)))
（0≤n→∞）
现代数学家计算圆周率大多采用此类公式，普通人是望尘莫及的。
而中国圆周率公式的使用就简单多了，普通中学生使用常规计算工具就能
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时间：2022-04-11 13:25
圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历史，人类对 π 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学史家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。我们可以将这一计算历程分为几个阶段。
实验时期
通过实验对 π 值进行估算，这是计算 π 的的第一阶段。这种对 π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界，实际上长期使用 π ＝3这个数值。最早见于文字记载的有*教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这一结论。在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。这正反映了早期人们对圆周率 π 和√2 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。后人称之为“古率”。
早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。在印度，公元前六世纪，曾取 π= √10 = 3.162。在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。追答π≈3.14
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时间：2022-04-11 15:33
周长除以直径
