均方极限怎么理解
发布网友
发布时间：2022-04-25 12:21
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热心网友
时间：2024-03-09 02:10
所谓均方极限首先必须明白均方的含义。
均方极限的“均”指平均，即期望值，“方”指离差平方，描述随机变量与某个值的距离，“均方“指随机变量与某个值的平均离差平方，描述随机变量与某个值的平均绝对距离，如果这个平均距离无限接近0，因为离差平方不可能是负，则这个随机变量就无限接近这个值了，这就是均方极限的含义，是专门针对随机变量的极限定义。
如果这个“某个值”是随机变量的均值，那么”平均离差平方“就是随机变量的方差，一个随机变量X，方差描述他围绕均值的波动程度，当它的方差逐渐减少（即趋向于0）时，随机变量围绕其均值的波动越来越小，当方差等于0时，随机变量等于均值，就变成一个常数了。
随机微积分中很重要的均方极限意义下∑W^2=T的推导（其中W为维纳过程，W=z√t，z为标准正态分布，t为时间间隔）：
W=z√t，则W^2=z^2*t；
z为标准正态分布，则z^2为自由度为1的卡方分布，期望值为1，方差为2；
则W^2=z^2*t期望值为t，方差为2*t^2;
设有n个的W^2相加，即∑W^2，则其期望值为nt，方差为2n*t^2.
取nt=T，即将固定时间T均匀n等分，每份时间间隔为t;
则当n趋向无穷大时，t趋向无穷小，则∑W^2的方差2nt^2=2Tt趋向无穷小（均方极限），则∑W^2趋向于其期望值nt=T
即：∑W^2=T
热心网友
时间：2024-03-09 02:11
话说之前那个同学举得例子那个序列不是随机的- -。我再举一个希望可以帮到你~~
令Xn~N(0,(1/2)^n) {Xn}这个序列服从方差越来越小的正态分布 X=0
lim（n→∞） E|Xn-X|²=lim（n→∞）（1/2）^2n=0
这个数列也是符合均方收敛的
第一问其实我没看特别明白 不过收敛指的都是无穷时候的状态 跟之前过程中怎么样没太大关系 如果这个没能回答你的问题 追问我好了~~
第二个问题 X都是一个确定的数的 因为Xn和X都是相互的，|Xn-X|²>=V(X)如果X不是确定的数字的话 它自己的方差就>0 是不可能出现这种收敛的~
第三个问题 我觉得随机变量的收敛要互相比较来理解记忆。。不然的话非常混乱。。我也学了很久才弄清楚。。
你说的这个均方收敛其实是L^p norm收敛的一个特殊情况（这个不知道也行） 当p>1时 （均方是p=2）它可以推出来convergence in probability （中文似乎是概率收敛- -不是特清楚名字）
还有另一种收敛叫almost surely convergence， 它也可以推出 convergence in probability
这三种收敛到的值都是固定的 不能是随机变量 根据我目前所学。。均方收敛这个东西用的不是很多 就算是用也是为了证convergence in probability~
希望这个对你有所帮助~
热心网友
时间：2024-03-09 02:11
设随机序列{Xn=（1/2）^n,n=1,2…}和随机变量X=0。lim（n→∞） ，E|Xn|²＜∞， E|X|²＜∞，有lim（n→∞） E|Xn-X|²=lim（n→∞）（1/2）^2n=0 ，所以Xn均方收敛于X，X是Xn的均方极限，记为l.i.m Xn=X ①Xn是在n→∞才趋近于X，因为极限本身就本题而言极限在n→∞才有意义 ②随机变量X是取一个值，因为Xn本身是一个序列数组， 随机变量X只会随着这个数组而整体变化，而不会随单个Xn而变化，可以这么理解，随机变量X是随机序列{Xn,n=1,2…}这个数组的一个特征值，他的具体大小是由此数组根据其定义而唯一确定的。
