有关:数乘向量与共线定理知识总结
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发布时间：2022-04-25 12:03
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时间：2024-10-23 00:09
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共线知识点
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ
向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数
λ，使
向量P1P=λ
向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA
+μOB
,且λ+μ=1
,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA
+GB
+GC=O,则G为△ABC的重心
向量共线的重要条件 设a=(x，y)，b=(x'，y')。
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的...1
共线知识点
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ
向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数
λ，使
向量P1P=λ
向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA
+μOB
,且λ+μ=1
,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA
+GB
+GC=O,则G为△ABC的重心
向量共线的重要条件 设a=(x，y)，b=(x'，y')。
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是
xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是
a
b=0。
a⊥b的充要条件是
xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
2、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣
∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向;
当λ<0时，λa与a反方向;
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)
b=λ(a
b)=(a
λb)。
向量缉耿光际叱宦癸为含力对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：①
如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②
如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a
b。若a、b不共线，则a
b=|a|
|b|
cos〈a，b〉;若a、b共线，则a
b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a
b=x
x'+y
y'。
向量的数量积的运算律
a
b=b
a(交换律);
(λa)
b=λ(a
b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)
c=a
c+b
c(分配律);
向量的数量积的性质
a
a=|a|的平方。
a⊥b
〈=〉a
b=0。
|a
b|≤|a|
|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a
b)
c≠a
(b
c);例如：(a
b)^2≠a^2
b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由
a
b=a
c
(a≠0)，推不出
b=c。
3、|a
b|≠|a|
|b|
4、由
|a|=|b|
，推不出
a=b或a=-b。
