自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导
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发布时间：2022-04-25 08:17
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时间：2023-08-30 20:43
平方和的推导利用立方公式：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1 ①
记Sn=1²+2²+....+n²， Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2
对①式从1~n求和，得：
∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1
(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n
这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6
类似地，求立方和利用4次方公式：
(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1
例如：
2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1
3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1
4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1
. . . . . .
(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1
去掉中间步，将右边第一项移到左边得：
2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1
3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1
4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1
. . . . . .
(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1
两边分别相加
(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3
整理即得
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6
扩展资料：
常见数列求和的方法：
1、公式法：
等差数列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2、错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)
3、裂项法
适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项。
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时间：2023-08-30 20:43
(1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
(2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
推导过程如下：
一、 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...
+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
故：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证明如下：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
故：
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
