全立方公式,立方差立方和公式的练习

发布网友 发布时间：2022-04-25 08:17

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热心网友 时间：2023-11-08 14:20

立方和公式： a^3 + b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)

立方差公式： a^3 - b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)

公式延伸： 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2

公式证明

我们知道：

0次方和的求和公式∑N^0＝N 即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式∑N^1＝N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

2次方和的求和公式∑N^2＝N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就有：

(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

...................

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

.

于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

左边=(N+1)^4-1

右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

所以

把以上这已经证得的三个公式代入

4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

即

1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

立方和公式推导完毕
那个同理

热心网友 时间：2023-11-08 14:20

立方和公式： a^3 + b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)

立方差公式： a^3 - b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)

公式延伸： 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2

公式证明

我们知道：

0次方和的求和公式∑N^0＝N 即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式∑N^1＝N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

2次方和的求和公式∑N^2＝N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就有：

(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

...................

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

.

于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

左边=(N+1)^4-1

右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

所以

把以上这已经证得的三个公式代入

4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

即

1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

立方和公式推导完毕
那个同理

热心网友 时间：2023-11-08 14:20

立方和公式： a^3 + b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)

立方差公式： a^3 - b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)

公式延伸： 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2

公式证明

我们知道：

0次方和的求和公式∑N^0＝N 即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式∑N^1＝N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

2次方和的求和公式∑N^2＝N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就有：

(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

...................

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

.

于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

左边=(N+1)^4-1

右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

所以

把以上这已经证得的三个公式代入

4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

即

1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

立方和公式推导完毕
那个同理

热心网友 时间：2023-11-08 14:20

立方和公式： a^3 + b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)

立方差公式： a^3 - b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)

公式延伸： 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2

公式证明

我们知道：

0次方和的求和公式∑N^0＝N 即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式∑N^1＝N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

2次方和的求和公式∑N^2＝N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就有：

(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

...................

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

.

于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

左边=(N+1)^4-1

右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

所以

把以上这已经证得的三个公式代入

4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

即

1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

立方和公式推导完毕
那个同理

热心网友 时间：2023-11-08 14:20

立方和公式： a^3 + b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)

立方差公式： a^3 - b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)

公式延伸： 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2

公式证明

我们知道：

0次方和的求和公式∑N^0＝N 即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式∑N^1＝N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

2次方和的求和公式∑N^2＝N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就有：

(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

...................

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

.

于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

左边=(N+1)^4-1

右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

所以

把以上这已经证得的三个公式代入

4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

即

1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

立方和公式推导完毕
那个同理

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立方和公式： a^3 + b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)

立方差公式： a^3 - b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)

公式延伸： 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2

公式证明

我们知道：

0次方和的求和公式∑N^0＝N 即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式∑N^1＝N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

2次方和的求和公式∑N^2＝N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就有：

(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

...................

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

.

于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

左边=(N+1)^4-1

右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

所以

把以上这已经证得的三个公式代入

4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

即

1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

立方和公式推导完毕
那个同理