求积分∫ (x-sin(x)) (1-cos(x)^2) dx,上限是2π,下限是0
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利用奇函数对称性积分=0
简化计算
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简单计算一下即可，详情如图所示
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令x=π+u，则对u积分的区间化为[-π,π],dx=.
I = ∫<0, 2π>(x-sinx)[1-(cosx)^2)]dx = ∫<0, 2π>(x-sinx)(sinx)^2dx
= ∫<-π, π>(π+u+sinu)(sinu)^2
= 2π∫<0, π>(sinu)^2 = π∫<0, π>(1-cos2u) = π^2
题主改题后的解答：
令x=π+u，则对u积分的区间化为[-π, π], dx = .
I = ∫<0, 2π>(x-sinx)(1-cosx)^2dx
= ∫<-π, π>(π+u+sinu)(1+cosu)^2
= 2π∫<0, π>(1+cosu)^2 = 2π∫<0, π>[1+2cosu+(cosu)^2]
= π∫<0, π>[3+4cosu+cos2u]
= π[3u+4sinu+(1/2)sin2u]<0, π> = 3π^2
